tolong kak
Nilai dari 2a adalah 10.
Pembahasan
Turunan dan Integral
Diketahui
(referensi dari gambar yang dilampirkan)
[tex]f'(t)=(2t-a)^2[/tex]
[tex]f(t)=\dfrac{4}{3}t^3-10t^2+25t+C[/tex]
Ditanyakan
Nilai dari 2a
PENYELESAIAN
Kita bisa menggunakan 2 cara, yaitu dengan turunan atau dengan integral.
Cara 1: Dengan turunan
[tex]\begin{aligned}f'(t)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}t^3-10t^2+25t+C\right)\\&=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}t^3\right)-\frac{d}{dt}\left(10t^2\right)+\frac{d}{dt}(25t)+\frac{d}{dt}C\\&=\frac{4}{3}\cdot3t^2-10\cdot2t+25\cdot1+0\\&=4t^2-20t+25\\f'(t)&=(2t-5)^2\end{aligned}[/tex]
Kemudian, kita samakan dengan [tex]f'(t)[/tex] yang diketahui.
[tex]\begin{aligned}\left(2t\:-\:\boxed{a}\,\right)^2&=\left(2t\:-\:\boxed{5}\,\right)^2\\\Rightarrow a&=5\\\therefore\ 2a&=\boxed{\ \bf10\ }\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
Cara 2: Dengan integral
[tex]\begin{aligned}f(t)&=\int f'(t)\,dt\\&=\int(2t-a)^2\,dt\\&=\int\left(4t^2-4at+a^2\right)dt\\&=\int4t^2\,dt-\int4at\,dt+\int a^2\,dt\\&=4\int t^2\,dt-4a\int t\,dt+a^2\int1\,dt\\&=\frac{4t^3}{3}-4a\left(\frac{t^2}{2}\right)+a^2t\\&=\frac{4}{3}t^3-2at^2+a^2t+C\\\end{aligned}[/tex]
Kemudian, kita samakan dengan [tex]f(t)[/tex] yang diketahui.
[tex]\begin{aligned}&\frac{4}{3}t^3-\:\boxed{2at^2}\;+\;\boxed{a^2t}+C\\=\ &\frac{4}{3}t^3-\:\boxed{10t^2}\;+\;\boxed{25t}+C\\\Rightarrow\ &\begin{cases}2a=10&\Rightarrow\ a=5\\a^2=25&\Rightarrow\ \text{benar!}\end{cases}\\\therefore\ &2a=\boxed{\ \bf10\ }\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
KESIMPULAN
∴ Nilai dari [tex]2a[/tex] adalah 10.
